【玄人向けオンカジ攻略】期待値派に朗報。最適なベット金額が算出できる「ケリー基準」について解説。

先日、ギャンブルに数学で挑んだ猛者たちについて書かれた本について紹介しました。その本でもケリー基準が扱われています。

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最強の資金管理法？ケリー基準を解説

ケリー基準（ケリーの公式）とは、複利収益率が最も高くなる「最適な投資サイズ」を算出する方法で、投資の文脈でしばしば利用されています。

もともとはギャンブルにおいて昔から知られていた手法でしたが、応用の可能性が高く、確率が関係する様々な分野で意思決定をする際に使われています。

ギャンブルの文脈でケリー基準を説明すると「あるギャンブルを行うとき、資産の何％をベットするべきか？」を算出してくれる公式になります。

ケリー基準とは

(Wikipedia “Kelly criterion” より引用)

ケリー基準とは、アメリカのベル研究所でジョン・ラリー・ケリー・ジュニアが1956年に考案した数式です。

ベル研究所には、天才的な科学者や数学者が数多く集まり、日々さまざまな研究を行っていました。

ケリー基準は、後に数学者・投資家であるエドワード・ソープがギャンブルや投資で実践し、結果を出したことで広く知られるようになります。

さて、ケリー基準の解説に入りましょう。ケリー基準は、資金の (指数的) 増加率の期待値を最大化するベット水準になります。

まず、一番簡単なギャンブルの結果が2通りしかない場合のケリー基準について見てみましょう。

各文字は次のものを表しています。

例えば、60%の確率で勝ち/40%の確率で負け、オッズ比が1-1のギャンブルを考えましょう。(p = 0.6, q = 0.4, b = 1)

そうするとケリー基準 f* = 0.2 と計算できます。つまり、資金の20%をこのギャンブルに賭け続けるのがベストということになります。

しかし、ケリー基準がうまく働くのは、プレイヤーのエッジがある（ハウスエッジがない）ときになります。オンカジでできるギャンブルにはハウスエッジがあるので、ケリー基準の f*の値がマイナスになってしまいます。

つまり、ハウスエッジのあるギャンブルでは何もベットしないことが最適となるのです。

しかし！普通のギャンブルではハウスエッジがあり、ケリー基準が利用できませんが、例えばカードカウンティングを使うとプレイヤーエッジがある状況を生み出すことができます。

ブラックジャックの場合、カードカウンティングによりRTPが100%を超える状況があることが知られています。

カードカウンティング以外にもRTPが100%を超える状況を作ることが可能ですが、ここでは割愛します。

さて、次の節で具体的な計算方法を見てみましょう。

ケリー基準の計算例

単純なギャンブルでケリー基準を導出することは簡単ですが、そうでない場合は次の近似値がよく利用されています。

近似値 = プレイヤーエッジ÷分散

例：ブラックジャック（カードカウンティングあり）

ブラックジャックでカードカウンティングの結果、RTPが101%と算出されたとしましょう。

ブラックジャックの分散は約1.3225であることが知られています。

プレイヤーエッジが1% (0.01) ですので、ケリー基準の近似値は 0.01 / 1.3225 = 0.76% と計算できます。よって、資金の0.76%を賭け続けることが最適となります。

ここで大事なのは、「分散」を計算できるかどうかです。

有名なゲームの分散 (variance) は検索すれば出てくると思います。

まとめ

ケリー基準による資金管理法を解説し、この基準がRTPが100%を越えている状況で上手くいくことを説明しました。

また、ボーナスを利用して (短期的な) RTPを100%以上にできる状況もあるため、その時にはケリー基準の近似値

近似値 = プレイヤーエッジ÷分散

を使ってみてください。

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